Сторона AB остроугольного треугольника ABC равна 16. В треугольнике проведены медиана CM и высота CH, причём CM = CB. Чему равна длина отрезка AH?

Пусть H лежит на AB, а M — середина AB. Обозначим AH = x. Тогда HM = MB = 8 − x.

Так как CH ⟂ AB, по теореме Пифагора:

CM² = CH² + (8 − x)², CB² = CH² + (16 − x)².

Из CM = CB следует равенство их квадратов:

(8 − x)² = (16 − x)².

Раскрывая скобки, получаем 64 − 16x + x² = 256 − 32x + x², откуда 16x = 192 и x = 12.

Ответ: 12