Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, боковое ребро равно 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна сумме площадей шести равных боковых граней, каждая из которых является равнобедренным треугольником.

Обозначим сторону основания за $$a = 24$$, а боковое ребро за $$b = 37$$. Высота боковой грани (апофема) $$h$$ является высотой равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. Ее можно найти по теореме Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $$h$$, половиной стороны основания $$\frac{a}{2} = 12$$ и боковым ребром $$b = 37$$. Тогда:

$$h = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35$$

Площадь одной боковой грани:

$$S_\text{грани} = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 35 = 12 \cdot 35 = 420$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_\text{боков} = 6 S_\text{грани} = 6 \cdot 420 = 2520$$

Ответ: 2520