15. Сторона равностороннего треугольника равна $$14\sqrt{3}$$. Найдите биссектрису этого треугольника.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны $$60^\circ$$. Биссектриса, проведённая из вершины, является также медианой и высотой. Таким образом, она делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть $$a$$ - сторона равностороннего треугольника, тогда $$a = 14\sqrt{3}$$. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных биссектрисой. Гипотенуза этого треугольника равна стороне равностороннего треугольника ($$a$$), а один из катетов равен половине стороны равностороннего треугольника ($$\frac{a}{2}$$). Биссектриса является вторым катетом. Обозначим биссектрису как $$h$$. По теореме Пифагора: $$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$$ $$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$ $$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Подставим значение $$a = 14\sqrt{3}$$: $$h = \frac{14\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21$$ Ответ: 21