7. Сторона треугольника равна 8 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 105°. Найдите длину наибольшей из дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

7. Дано: треугольник со стороной 8 см, прилежащие углы 45° и 105°.

Найти: длину наибольшей дуги, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

Третий угол треугольника равен:

$$180° - 45° - 105° = 30°$$

Наибольшая дуга соответствует наименьшему углу треугольника, то есть углу 30°.

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$$

$$\frac{8}{\sin 30°} = 2R$$

$$\frac{8}{0.5} = 2R$$

$$16 = 2R$$

$$R = 8$$

Длина окружности:

$$C = 2\pi R = 2\pi \cdot 8 = 16\pi$$

Длина всей окружности соответствует 360°, значит, длина дуги в 1° равна:

$$\frac{16\pi}{360} = \frac{2\pi}{45}$$

Наибольшая дуга соответствует углу в 105°:

$$105 \cdot \frac{2\pi}{45} = \frac{210\pi}{45} = \frac{14\pi}{3}$$

Ответ: $$\frac{14\pi}{3}$$