25. Стороны $$AC$$, $$AB$$, $$BC$$ треугольника $$ABC$$ равны $$3\sqrt{6}$$, $$4\sqrt{7}$$ и $$4$$ соответственно. Точка $$K$$ расположена вне треугольника $$ABC$$, причём отрезок $$KC$$ пересекает отрезок $$AB$$ в точке, отличной от $$B$$. Известно, что треугольник с вершинами $$K$$, $$A$$ и $$C$$ подобен исходному, причём $$\angle KCA = \angle BAC$$. Найдите косинус угла $$AKC$$, если $$\angle KAC > 90^\circ$$.

Обозначим $$\angle BAC = \alpha$$, $$\angle ABC = \beta$$, $$\angle ACB = \gamma$$. Также дано, что $$\angle KCA = \alpha$$ и $$\angle KAC > 90^\circ$$. Так как треугольники $$KAC$$ и $$ABC$$ подобны, то соответственные углы равны. Поскольку $$\angle KCA = \angle BAC = \alpha$$, возможны два случая подобия: 1. $$\triangle KAC \sim \triangle ABC$$ по порядку вершин. Тогда $$\angle CAK = \angle CBA = \beta$$ и $$\angle AKC = \angle ACB = \gamma$$. 2. $$\triangle KAC \sim \triangle BCA$$. Тогда $$\angle CAK = \angle BAC = \alpha$$ и $$\angle AKC = \angle ABC = \beta$$. По условию, $$\angle KAC > 90^\circ$$. Рассмотрим первый случай: $$\angle CAK = \beta > 90^\circ$$. Но в треугольнике $$ABC$$ не может быть угла больше $$90^\circ$$, так как в этом случае $$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$, и если $$\beta > 90^\circ$$, то $$\alpha + \gamma < 90^\circ$$, что возможно. Значит, первый случай не противоречит условиям. Во втором случае: $$\angle CAK = \alpha > 90^\circ$$. Аналогично, в треугольнике $$ABC$$ угол $$\alpha$$ не может быть больше $$90^\circ$$, следовательно, этот случай также возможен. Из условия $$\angle KCA = \angle BAC = \alpha$$ следует, что $$KC$$ – секущая для прямых $$AK$$ и $$BC$$, и внутренние накрест лежащие углы равны, значит, $$AK \parallel BC$$. Следовательно, $$\angle CAK + \angle ACB = 180^\circ$$, то есть $$\beta + \gamma = 180^\circ$$. Но это невозможно в треугольнике $$ABC$$. Значит, нужно рассмотреть случай $$\triangle KAC \sim \triangle ABC$$, где $$\angle AKC = \gamma$$. По теореме косинусов для треугольника $$ABC$$: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 cdot AC cdot BC cdot \cos \gamma$$ $$(4\sqrt{7})^2 = (3\sqrt{6})^2 + 4^2 - 2 cdot 3\sqrt{6} cdot 4 cdot \cos \gamma$$ $$16 cdot 7 = 9 cdot 6 + 16 - 24\sqrt{6} \cos \gamma$$ $$112 = 54 + 16 - 24\sqrt{6} \cos \gamma$$ $$112 = 70 - 24\sqrt{6} \cos \gamma$$ $$42 = -24\sqrt{6} \cos \gamma$$ $$\cos \gamma = -\frac{42}{24\sqrt{6}} = -\frac{7}{4\sqrt{6}} = -\frac{7\sqrt{6}}{24}$$ Так как $$\angle AKC = \gamma$$, то $$\cos \angle AKC = \cos \gamma = -\frac{7\sqrt{6}}{24}$$. Ответ: $$\cos \angle AKC = -\frac{7\sqrt{6}}{24}$$