24. В параллелограмме $$ABCD$$ точка $$G$$ – середина стороны $$BC$$. Известно, что $$AG = GD$$. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

Чтобы доказать, что параллелограмм $$ABCD$$ является прямоугольником, нужно показать, что один из его углов прямой, то есть равен $$90^\circ$$. 1. Обозначения и построения: * Пусть $$O$$ – точка пересечения диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ параллелограмма $$ABCD$$. * Так как $$ABCD$$ – параллелограмм, то $$AO = OC$$ и $$BO = OD$$. * $$G$$ – середина $$BC$$, значит, $$BG = GC$$. * Дано, что $$AG = GD$$. 2. Рассмотрим треугольники $$ABG$$ и $$DCG$$: * $$AB = DC$$ (противоположные стороны параллелограмма равны). * $$BG = GC$$ (по условию, $$G$$ – середина $$BC$$). * $$AG = GD$$ (по условию). * Следовательно, $$\triangle ABG = \triangle DCG$$ по трем сторонам (ССС). 3. Вывод об углах: * Из равенства треугольников следует, что $$\angle ABG = \angle DCG$$. * Так как $$ABCD$$ – параллелограмм, то $$\angle ABG$$ и $$\angle DCG$$ являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$BC$$. * Сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$, то есть $$\angle ABG + \angle DCG = 180^\circ$$. * Поскольку $$\angle ABG = \angle DCG$$, то $$2 \angle ABG = 180^\circ$$, откуда $$\angle ABG = 90^\circ$$. 4. Заключение: * $$\angle ABG$$ является углом параллелограмма $$ABCD$$, и он равен $$90^\circ$$. * Следовательно, параллелограмм $$ABCD$$ является прямоугольником. Таким образом, мы доказали, что параллелограмм $$ABCD$$ с условием $$AG = GD$$, где $$G$$ – середина стороны $$BC$$, является прямоугольником.