Стороны AC и BC △ ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCA, ∠MCD = 62°. Найти ∠BAC.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ AC = BC \]
• CM — биссектриса внешнего угла BCA
• \[ \angle MCD = 62^{\circ} \]

Найти:
\[ \angle BAC \]

Решение:

1. Внешний угол BCA:
   \[ \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \]
2. Угол ∠ACD: Так как CM — биссектриса внешнего угла BCA, то
   \[ \angle ACM = \angle MCD = 62^{\circ} \].
   Угол ∠ACD смежный с ∠ACM, поэтому
   \[ \angle ACD = \angle ACM = 62^{\circ} \]
3. Внешний угол ∠BCD:
   \[ \angle BCD = \angle BAC + \angle ABC \] (сумма двух других углов треугольника).
   Так как CM — биссектриса внешнего угла, то
   \[ \angle BCM = \angle MCD = 62^{\circ} \].
   Значит, весь внешний угол
   \[ \angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 62^{\circ} + 62^{\circ} = 124^{\circ} \].
4. Углы в △ ABC:
   Так как AC = BC, то △ ABC — равнобедренный, и
   \[ \angle BAC = \angle ABC \].
5. Находим ∠BAC:
   Используя свойство внешнего угла:
   \[ \angle BAC + \angle ABC = \angle BCD \]
   \[ \angle BAC + \angle BAC = 124^{\circ} \] (так как
   \[ \angle BAC = \angle ABC \])
   \[ 2 \cdot \angle BAC = 124^{\circ} \]
   \[ \angle BAC = \frac{124^{\circ}}{2} = 62^{\circ} \]

Ответ: 62°