Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 6, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида.
• Сторона основания ( \(a\) \): \( a = 6 \f\).
• Боковое ребро ( \(l\) \): \( l = 5 \f\).

Найти:

• Площадь поверхности пирамиды ( \(S_{пов.}\) \).

Решение:

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания ( \(S_{осн.}\) \) и площади боковой поверхности ( \(S_{бок.}\) \).

\( S_{пов.} = S_{осн.} + S_{бок.} \f\)

1. Площадь основания ( \(S_{осн.}\) \):
• Основание — квадрат со стороной \( a = 6 \f\).
• \( S_{осн.} = a^2 = 6^2 = 36 \f\).
2. Площадь боковой поверхности ( \(S_{бок.}\) \):
• Боковая поверхность состоит из 4 одинаковых равнобедренных треугольников.
• Чтобы найти площадь одного такого треугольника, нам нужно его высоту — апофему ( \(h_a\) \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром ( \(l\) \), апофемой ( \(h_a\) \) и половиной стороны основания ( \(a/2\) \).
• \( (a/2)^2 + h_a^2 = l^2 \f\)
• \( (6/2)^2 + h_a^2 = 5^2 \f\)
• \( 3^2 + h_a^2 = 25 \f\)
• \( 9 + h_a^2 = 25 \f\)
• \( h_a^2 = 25 - 9 = 16 \f\)
• \( h_a = sqrt(16) = 4 \f\).
• Площадь одного бокового треугольника ( \(S_{тр.}\) \):
• \( S_{тр.} = \frac{1}{2} \times a \times h_a = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \f\).
• Площадь боковой поверхности ( \(S_{бок.}\) \):
• \( S_{бок.} = 4 \times S_{тр.} = 4 \times 12 = 48 \f\).

• \( S_{пов.} = S_{осн.} + S_{бок.} = 36 + 48 = 84 \f\).

Ответ: 84