В треугольнике АВС угол В равен 68°, биссектрисы углов ВАС и АСВ пересекаются в точке О. Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle B = 68^{\circ} \]
• AO и CO - биссектрисы углов BAC и ACB соответственно.

Найти:

• \[ \angle AOC \]

Решение:

1. Сумма углов в треугольнике: В \[ \triangle ABC \] сумма углов равна 180°. Следовательно, \[ \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ} \].
2. Углы в треугольнике AOC: В \[ \triangle AOC \] нам известны углы \[ \angle OAC \] и \[ \angle OCA \]. Так как AO и CO — биссектрисы, то:
• \[ \angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC \]
• \[ \angle OCA = \frac{1}{2} \angle ACB \]
3. Сумма этих двух углов:
• \[ \angle OAC + \angle OCA = \frac{1}{2} \angle BAC + \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ACB) = \frac{1}{2} (112^{\circ}) = 56^{\circ} \]
4. Нахождение угла AOC: Теперь мы можем найти \[ \angle AOC \] в \[ \triangle AOC \]:
• \[ \angle AOC = 180^{\circ} - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ} \]

Ответ: 124