16. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 20, боковые рёбра равны 26. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где S - вершина, ABCD - квадрат в основании.

Сторона основания AB = BC = CD = DA = 20.

Боковые ребра SA = SB = SC = SD = 26.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

1) Площадь основания (квадрата ABCD): $$S_{осн} = AB^2 = 20^2 = 400$$

2) Площадь боковой поверхности состоит из четырех равных треугольников (SAS, SBS, SCS, SDS). Найдем площадь одного треугольника, например, SAS.

Чтобы найти площадь треугольника SAS, нужно найти его высоту (апофему). Опустим высоту SK на сторону AB. Так как треугольник SAS равнобедренный, то SK является медианой и высотой. Значит, AK = KB = 10.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SKA. По теореме Пифагора: $$SK^2 = SA^2 - AK^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$$

$$SK = \sqrt{576} = 24$$

Площадь треугольника SAS: $$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 24 = 240$$

3) Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot 240 = 960$$

4) Площадь полной поверхности пирамиды: $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 400 + 960 = 1360$$

Ответ: 1360