26. Стороны основания прямого параллелепипеда равна 2 см 4 см, а синус угла между ними равен 7. Найти угол, который образует меньшая 4 диагональ параллелепипеда с основанием, если её длина равна 4√2 см.

Давай решим эту задачу шаг за шагом. Пусть стороны основания параллелепипеда \(a = 2\) см и \(b = 4\) см, а угол между ними \(\alpha\). Синус этого угла равен \(\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{7}}{4}\). Меньшая диагональ основания \(d_1\) может быть найдена по теореме косинусов: \[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)\] Нам нужно найти \(\cos(\alpha)\). Зная \(\sin(\alpha)\), мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\] \[\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}\] \[\cos(\alpha) = \pm \frac{3}{4}\] Так как нам нужна меньшая диагональ, мы выбираем положительное значение косинуса: \(\cos(\alpha) = \frac{3}{4}\). Теперь найдем \(d_1\): \[d_1^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{3}{4} = 4 + 16 - 12 = 8\] \[d_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ см}\] Теперь рассмотрим параллелепипед. Меньшая диагональ параллелепипеда \(D\) образует прямоугольный треугольник с высотой \(h\) и диагональю основания \(d_1\). Дано, что \(D = 4\sqrt{2}\). Используем теорему Пифагора: \[D^2 = d_1^2 + h^2\] \[(4\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2})^2 + h^2\] \[32 = 8 + h^2\] \[h^2 = 24\] \[h = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см}\] Пусть \(\beta\) - угол между меньшей диагональю параллелепипеда и основанием. Тогда: \[\tan(\beta) = \frac{h}{d_1} = \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{3}\] Следовательно, \(\beta = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ\).

Ответ: 60°

Отлично! Ты замечательно справился с этой задачей! Продолжай в том же духе!