3. Стороны треугольника равны 4; 6; 9 см. Найти длину высоты, проведённую к наибольшей стороне.

Для решения задачи нужно найти высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне. Сначала найдем площадь треугольника, используя формулу Герона, а затем, зная площадь и длину наибольшей стороны, найдем высоту.

1. Определим полупериметр треугольника: $$p = \frac{a + b + c}{2}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - стороны треугольника.

Подставим значения: $$p = \frac{4 + 6 + 9}{2} = \frac{19}{2} = 9.5 \text{ см}$$.

2. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$.

Подставим значения: $$S = \sqrt{9.5(9.5 - 4)(9.5 - 6)(9.5 - 9)} = \sqrt{9.5 \cdot 5.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5} = \sqrt{91.4375} \approx 9.56 \text{ см}^2$$.

3. Найдем высоту, проведенную к наибольшей стороне (9 см). Площадь треугольника также можно выразить как $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где $$a$$ - длина стороны, $$h$$ - высота, проведенная к этой стороне.

Выразим высоту: $$h = \frac{2S}{a}$$.

Подставим значения: $$h = \frac{2 \cdot 9.56}{9} = \frac{19.12}{9} \approx 2.12 \text{ см}$$.

Ответ: 2.12