3. Стороны треугольника равны 4; 6; 6 см. Найти длину высоты, проведённую к наименьшей стороне.

Для решения задачи нужно найти высоту треугольника, проведенную к наименьшей стороне. Сначала найдем площадь треугольника, используя формулу Герона, а затем, зная площадь и длину наименьшей стороны, найдем высоту.

1. Определим полупериметр треугольника: $$p = \frac{a + b + c}{2}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - стороны треугольника.

Подставим значения: $$p = \frac{4 + 6 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}$$.

2. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$.

Подставим значения: $$S = \sqrt{8(8 - 4)(8 - 6)(8 - 6)} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \text{ см}^2$$.

3. Найдем высоту, проведенную к наименьшей стороне (4 см). Площадь треугольника также можно выразить как $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где $$a$$ - длина стороны, $$h$$ - высота, проведенная к этой стороне.

Выразим высоту: $$h = \frac{2S}{a}$$.

Подставим значения: $$h = \frac{2 \cdot 8\sqrt{2}}{4} = \frac{16\sqrt{2}}{4} = 4\sqrt{2} \text{ см}$$.

$$4\sqrt{2} \approx 5.66$$

Ответ: $$4\sqrt{2}$$