Стороны треугольника равны 6 и 8, угол между ними равен 60°. Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите ее радиус.

Пусть дан треугольник ABC, где AB = 6, BC = 8 и угол B = 60°. Обозначим радиус окружности, проходящей через центр вписанной окружности и концы стороны AC, как R.

1. Найдем сторону AC по теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(B)$$

$$AC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot cos(60°)$$

$$AC^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52$$

$$AC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

2. Обозначим центр вписанной окружности как I. Рассмотрим треугольник AIC. Угол AIC равен 180° - (угол A / 2 + угол C / 2) = 180° - (угол A + угол C) / 2 = 180° - (180° - угол B) / 2 = 180° - (180° - 60°) / 2 = 180° - 60° = 120°.
3. Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника AIC, чтобы найти радиус R описанной окружности:

$$\frac{AC}{sin(AIC)} = 2R$$

$$R = \frac{AC}{2 \cdot sin(AIC)} = \frac{2\sqrt{13}}{2 \cdot sin(120°)}$$

$$R = \frac{\sqrt{13}}{sin(120°)}$$

$$sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$R = \frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{13}\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{39}}{3}$$

Ответ: $$R = \frac{2\sqrt{39}}{3}$$