Контрольные задания > 8. Стороны угла АСВ, равного 60°, касаются двух окружностей с центрами О₁ и О₂, ка- сающихся одна другой, причем СО₁ = 12 см. Найдите радиус окруж- ности с центром 0₂. а) 2/3 см; б) 3/2 см; в) 2 см; г) 3 см.
Вопрос:

8. Стороны угла АСВ, равного 60°, касаются двух окружностей с центрами О₁ и О₂, ка- сающихся одна другой, причем СО₁ = 12 см. Найдите радиус окруж- ности с центром 0₂. а) 2/3 см; б) 3/2 см; в) 2 см; г) 3 см.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Используем свойства касательных к окружности и подобие треугольников.
  • Пусть r₁ — радиус окружности с центром O₁, а r₂ — радиус окружности с центром O₂.
  • Угол ACB равен 60°.
  • Рассмотрим треугольники CO₂X и CO₁Y, где X и Y — точки касания окружностей со сторонами угла.
  • Треугольники CO₂X и CO₁Y — прямоугольные, так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным.
  • Угол C является общим для обоих треугольников, поэтому они подобны.
Показать подобие треугольников
  • Из подобия треугольников следует: r₂ / r₁ = CO₂ / CO₁.
  • CO₁ = 12 см.
  • Расстояние между центрами касающихся окружностей равно сумме их радиусов: O₁O₂ = r₁ + r₂.
Показать вычисления
  • Проведём высоту O₂H в треугольнике CO₁O₂. Тогда CO₁ = CO₂ + O₂O₁.
  • CO₂ = r₂ / sin(30°) = 2r₂.
  • CO₁ = r₁ / sin(30°) = 2r₁.
  • O₁O₂ = r₁ + r₂.
Подставим это в уравнение CO₁ = CO₂ + O₂O₁:
  • 2r₁ = 2r₂ + r₁ + r₂
  • r₁ = 3r₂
Из подобия треугольников CO₂ / CO₁ = r₂ / r₁:
  • CO₂ / 12 = r₂ / (3r₂)
  • CO₂ / 12 = 1 / 3
  • CO₂ = 12 / 3 = 4 см
Так как CO₂ = 2r₂, то:
  • 2r₂ = 4 см
  • r₂ = 2 см

Ответ: в) 2 см.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие