86 Студент в течение семестра выполнил несколько контрольных работ. Когда он узнал результаты всех работ, кроме последней, он заметил, что если за по- следнюю контрольную работу он получит 90 баллов, то средний балл за все работы будет равен 84, а если за последнюю работу он получит 72 балла, то средний балл за все работы составит 81. Сколько всего контрольных работ должен выполнить студент?

Пусть студент выполнил $$x$$ контрольных работ, а сумма баллов за $$x-1$$ работ равна $$S$$.

1. Если за последнюю работу он получит 90 баллов, то средний балл за все работы будет равен 84: $$\frac{S + 90}{x} = 84$$ $$S + 90 = 84x$$ $$S = 84x - 90$$
2. Если за последнюю работу он получит 72 балла, то средний балл за все работы составит 81: $$\frac{S + 72}{x} = 81$$ $$S + 72 = 81x$$ $$S = 81x - 72$$

Приравняем выражения для S:

$$84x - 90 = 81x - 72$$ $$84x - 81x = 90 - 72$$ $$3x = 18$$ $$x = 6$$

Ответ: Студент должен выполнить 6 контрольных работ.