Сумма бесконечно убывающей прогрессии равна 32, а сумма ее первых четырех членов 30. Чему равен первый член данной прогрессии?

Пусть $$b_1$$ - первый член прогрессии, $$q$$ - знаменатель прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $$S = \frac{b_1}{1-q}$$. Сумма первых четырех членов: $$S_4 = b_1 \frac{1-q^4}{1-q}$$.

По условию, $$S = 32$$ и $$S_4 = 30$$. Таким образом, имеем систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 32 \\ b_1 \frac{1-q^4}{1-q} = 30 \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{b_1 \frac{1-q^4}{1-q}}{\frac{b_1}{1-q}} = \frac{30}{32}$$

$$\frac{1-q^4}{1} = \frac{15}{16}$$

$$1 - q^4 = \frac{15}{16}$$

$$q^4 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$$

$$q = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{2}$$

Так как прогрессия бесконечно убывающая, то $$|q| < 1$$. Оба значения $$q$$ подходят.

Рассмотрим случай $$q = \frac{1}{2}$$: $$\frac{b_1}{1 - \frac{1}{2}} = 32 \implies \frac{b_1}{\frac{1}{2}} = 32 \implies b_1 = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$$.

Рассмотрим случай $$q = -\frac{1}{2}$$: $$\frac{b_1}{1 - (-\frac{1}{2})} = 32 \implies \frac{b_1}{\frac{3}{2}} = 32 \implies b_1 = 32 \cdot \frac{3}{2} = 48$$.

Ответ: Первый член прогрессии равен либо 16, либо 48.