Сумма двух чисел равна -35, а их произведение равно 150. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть искомые числа — это \( x_1 \) и \( x_2 \). По условию задачи мы имеем систему уравнений:

\( x_1 + x_2 = -35 \)

\( x_1 \cdot x_2 = 150 \)

По теореме Виета, если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни приведённого квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \), то \( x_1 + x_2 = -p \) и \( x_1 \cdot x_2 = q \).

В нашем случае, мы можем составить квадратное уравнение вида \( x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0 \).

Подставим известные значения:

\[ x^2 - (-35)x + 150 = 0 \]

\[ x^2 + 35x + 150 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение, найдя дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 1225 - 600 = 625 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{625} = 25 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-35 + 25}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

\[ x_2 = \frac{-35 - 25}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \]

Проверим: \( -5 + (-30) = -35 \) (верно). \( (-5) \cdot (-30) = 150 \) (верно).

Ответ: числа -5 и -30.