19. Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 22, а произведение второго и четвертого членов равно 105. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии?

Пусть $$a_1$$ - первый член арифметической прогрессии, $$d$$ - разность прогрессии. Тогда: $$a_1 + a_5 = 22$$ $$a_2 \cdot a_4 = 105$$ Выразим члены прогрессии через $$a_1$$ и $$d$$: $$a_5 = a_1 + 4d$$ $$a_2 = a_1 + d$$ $$a_4 = a_1 + 3d$$ Подставим в уравнения: $$a_1 + (a_1 + 4d) = 22 \Rightarrow 2a_1 + 4d = 22 \Rightarrow a_1 + 2d = 11 \Rightarrow a_1 = 11 - 2d$$ $$(a_1 + d)(a_1 + 3d) = 105$$ Подставим $$a_1 = 11 - 2d$$ во второе уравнение: $$(11 - 2d + d)(11 - 2d + 3d) = 105$$ $$(11 - d)(11 + d) = 105$$ $$121 - d^2 = 105$$ $$d^2 = 121 - 105$$ $$d^2 = 16$$ $$d = \pm 4$$ Так как прогрессия возрастающая, то $$d = 4$$. Найдем $$a_1$$: $$a_1 = 11 - 2d = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3$$ Теперь найдем сумму первых шести членов прогрессии: $$S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = (2a_1 + 5d) \cdot 3 = (2(3) + 5(4)) \cdot 3 = (6 + 20) \cdot 3 = 26 \cdot 3 = 78$$ Ответ: 78