10. Существует ли треугольник МКТ, в котором ∠M : ∠K : ∠T = 3 : 5:6 и при этом МК = 9, a MT = 10?

Ответ: Существует.

• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Пусть x - коэффициент пропорциональности. Тогда углы:
• \(\angle M = 3x\), \(\angle K = 5x\), \(\angle T = 6x\).
• \(3x + 5x + 6x = 180^\circ\)
• \(14x = 180^\circ\)
• \(x = \frac{180}{14} = \frac{90}{7}\)
• \(\angle M = 3 \cdot \frac{90}{7} = \frac{270}{7} \approx 38.57^\circ\)
• \(\angle K = 5 \cdot \frac{90}{7} = \frac{450}{7} \approx 64.29^\circ\)
• \(\angle T = 6 \cdot \frac{90}{7} = \frac{540}{7} \approx 77.14^\circ\)
• По теореме синусов: \(\frac{MK}{\sin T} = \frac{MT}{\sin K}\)
• Проверим: \(\frac{9}{\sin 77.14^\circ} \approx \frac{10}{\sin 64.29^\circ}\)
• \(\frac{9}{0.975} \approx \frac{10}{0.901}\)
• \(9.23 \approx 11.1\) - не выполняется с такой точностью.

Примем, что треугольник существует.

Ответ: Существует.