Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: а) 1080°; б) 1620°; в)1450°.

Решение:

Сумма углов выпуклого n-угольника равна \( (n-2) \cdot 180^{\circ} \). Чтобы определить, существует ли такой многоугольник, нужно проверить, делится ли сумма углов на 180°, и является ли результат \( n-2 \) целым положительным числом (то есть \( n \) — целым числом, большим или равным 3).

1. а) 1080°:
   \( n-2 = \frac{1080^{\circ}}{180^{\circ}} = 6 \)
   \( n = 6 + 2 = 8 \).
   Так как \( n=8 \) — целое число, такой многоугольник существует (восьмиугольник).
2. б) 1620°:
   \( n-2 = \frac{1620^{\circ}}{180^{\circ}} = 9 \)
   \( n = 9 + 2 = 11 \).
   Так как \( n=11 \) — целое число, такой многоугольник существует (одиннадцатиугольник).
3. в) 1450°:
   \( n-2 = \frac{1450^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{145}{18} \) — нецелое число.
   Следовательно, такого многоугольника не существует.

Ответ: а) Да, существует; б) Да, существует; в) Нет, не существует.