Свойство 1. Если каждое число набора увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то среднее арифметическое набора увеличится (уменьшится) на это число. Аналогичное свойство верно для умножения. Свойство 2. Если каждое число набора умножить на одно и то же число (различное от нуля), то среднее арифметическое набора увеличится (уменьшится) во столько же раз.

Формулировки в целом верны, но во втором свойстве «увеличится (уменьшится)» может быть неверно при умножении на отрицательное число.

Пусть исходные числа — \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), а их среднее арифметическое равно \(\bar{x}\).

1. При прибавлении к каждому числу одного и того же числа c новое среднее равно \(\frac{(x_1+c)+\cdots+(x_n+c)}{n}=\bar{x}+c\). При вычитании c оно равно \(\bar{x}-c\).
2. При умножении каждого числа на k новое среднее равно \(\frac{kx_1+\cdots+kx_n}{n}=k\bar{x}\). Если k > 1, значения среднего масштабируются в k раз; при 0 < k < 1 его модуль уменьшается, а при k < 0 среднее меняет знак и умножается на |k| по модулю.

Исправленная формулировка: при умножении каждого числа набора на k среднее арифметическое умножается на k.