18. Tan 16 № 11033 В треугольнике АВС проведена прямая КУ - серединный перпендикуляр в стороне ВС. Найти АК. КС, если ВК 4 и АС 6.

Ответ: AK = \(2\sqrt{5}\), KC = \(2\sqrt{5}\)

• Т.к. KY - серединный перпендикуляр к стороне BC, то K - середина BC, значит, \(BK = KC = 4\).
• Треугольник AKC - равнобедренный, поскольку AK = KC.
• Высота KY делит AC пополам. \(AY = YC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
• Рассмотрим прямоугольный треугольник AYK. По теореме Пифагора: \[AK^2 = AY^2 + YK^2\]
• Найдем YK. Рассмотрим прямоугольный треугольник BYK. По теореме Пифагора: \[YK^2 = BK^2 - BY^2 = BK^2 - AY^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7\] \[YK = \sqrt{7}\]
• Подставим в уравнение для AK: \[AK^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16\] \[AK = \sqrt{16} = 4\]
• Тогда KC = AK = 4.

Ответ: AK = \(2\sqrt{5}\), KC = \(2\sqrt{5}\)