Тема урока. №2. Решите уравнения: а) x⁴ − 9x² + 20 = 0; б) x⁴ + 5x² + 9 = 0; в) x⁴ − 3x² + 9 = 0; г) y⁴ − 81 = 0; д) x⁴ − 16x² = 0; е) 20x⁴ − 8x² = −16.

Для уравнений с четвёртой и второй степенями используем замену t = x² (или t = y²), где t ≥ 0.

а) t² − 9t + 20 = 0; (t − 4)(t − 5) = 0. Значит, t = 4 или t = 5, поэтому x = ±2 или x = ±√5.

б) t² + 5t + 9 = 0. D = 25 − 36 = −11 < 0, поэтому действительных корней нет.

в) t² − 3t + 9 = 0. D = 9 − 36 = −27 < 0, поэтому действительных корней нет.

г) y⁴ − 81 = 0; (y² − 9)(y² + 9) = 0. Из y² = 9 получаем y = ±3; уравнение y² = −9 действительных корней не имеет.

д) x⁴ − 16x² = 0; x²(x² − 16) = 0. Поэтому x = 0 или x² = 16, откуда x = ±4.

е) Переносим всё в левую часть: 20x⁴ − 8x² + 16 = 0. При t = x² получаем 20t² − 8t + 16 = 0. D = 64 − 1280 = −1216 < 0, действительных корней нет.

Ответ: а) x = −2, 2, −√5, √5; б) действительных корней нет; в) действительных корней нет; г) y = −3, 3; д) x = −4, 0, 4; е) действительных корней нет.