Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть:
- \( v_т \) — скорость теплохода в неподвижной воде, \( v_т = 15 \) км/ч.
- \( v_т \) — скорость течения реки (то, что нужно найти).
- \( S \) — расстояние до пункта назначения, \( S = 200 \) км.
- \( t_{стоянки} \) — время стоянки, \( t_{стоянки} = 10 \) часов.
- \( T_{общее} \) — общее время в пути, \( T_{общее} = 40 \) часов.
Скорость теплохода по течению: \( v_{по} = v_т + v_т = 15 + v_т \) км/ч.
Скорость теплохода против течения: \( v_{пр} = v_т - v_т = 15 - v_т \) км/ч.
Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{200}{15 + v_т} \) часов.
Время движения против течения: \( t_{пр} = \frac{S}{v_{пр}} = \frac{200}{15 - v_т} \) часов.
Общее время в пути складывается из времени движения по течению, времени движения против течения и времени стоянки:
\( T_{общее} = t_{по} + t_{пр} + t_{стоянки} \)
\( 40 = \frac{200}{15 + v_т} + \frac{200}{15 - v_т} + 10 \)
Вычтем время стоянки из общего времени:
\( 40 - 10 = \frac{200}{15 + v_т} + \frac{200}{15 - v_т} \)
\( 30 = 200 \left( \frac{1}{15 + v_т} + \frac{1}{15 - v_т} \right) \)
Разделим обе части на 200:
\( \frac{30}{200} = \frac{1}{15 + v_т} + \frac{1}{15 - v_т} \)
\( \frac{3}{20} = \frac{1}{15 + v_т} + \frac{1}{15 - v_т} \)
Приведём к общему знаменателю правую часть:
\( \frac{3}{20} = \frac{(15 - v_т) + (15 + v_т)}{(15 + v_т)(15 - v_т)} \)
\( \frac{3}{20} = \frac{30}{15^2 - v_т^2} \)
\( \frac{3}{20} = \frac{30}{225 - v_т^2} \)
Теперь решим пропорцию:
\( 3(225 - v_т^2) = 20 \cdot 30 \)
\( 675 - 3v_т^2 = 600 \)
\( 3v_т^2 = 675 - 600 \)
\( 3v_т^2 = 75 \)
\( v_т^2 = \frac{75}{3} \)
\( v_т^2 = 25 \)
\( v_т = \sqrt{25} \)
\( v_т = 5 \) км/ч. (Скорость течения не может быть отрицательной).
Проверим, что \( 15 - v_т > 0 \) (теплоход движется против течения): \( 15 - 5 = 10 > 0 \). Условие выполняется.
Ответ: 5.
