Зависимость объема спроса s (единиц в месяц) на продукцию предприятия - монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой s = 33 - 3p. Выручка предприятия за месяц (тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = ps. Определите наименьшую цену р, при которой месячная выручка r(p) составит 90 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение:

Дано:

• Формула спроса: \( s = 33 - 3p \)
• Формула выручки: \( r(p) = ps \)
• Требуемая выручка: \( r(p) = 90 \) тыс. руб.

Подставим выражение для \( s \) в формулу выручки:

\( r(p) = p(33 - 3p) \)

Нам нужно найти цену \( p \), при которой \( r(p) = 90 \):

\( p(33 - 3p) = 90 \)

Раскроем скобки:

\( 33p - 3p^2 = 90 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 3p^2 - 33p + 90 = 0 \)

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

\( p^2 - 11p + 30 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета:

• Сумма корней: \( p_1 + p_2 = 11 \)
• Произведение корней: \( p_1 \cdot p_2 = 30 \)

Подбираем числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 5 и 6.

\( 5 + 6 = 11 \)

\( 5 \cdot 6 = 30 \)

Значит, \( p_1 = 5 \) и \( p_2 = 6 \).

Эти значения \( p \) (цены) дают выручку 90 тыс. руб.

Нас просят найти наименьшую цену \( p \), при которой выручка составит 90 тыс. руб. Наименьшая из найденных цен — 5.

Проверим, что спрос \( s \) положительный при \( p = 5 \): \( s = 33 - 3 \cdot 5 = 33 - 15 = 18 \). Спрос положительный.

Ответ: 5.