Тест № 3, вариант 1. 1. Упростите выражения: а) \(\frac{x+1}{15}-\frac{x-2}{4}\); б) \(\frac{2-x}{12x^2}-\frac{3x-2}{8x^2}\); в) \(\frac{1}{x^2}-\frac{x-2}{x}\); г) \(\frac{3x-5}{x}-\frac{3y-2}{y}\); д) \(\frac{x-y}{xy^2}-\frac{x-y}{x^2y}\); е) \(\frac{x-1}{2x-8}+\frac{x}{x-4}\); ж) \(\frac{3x}{3x-3}+\frac{2x}{5-5x}\); з) \(\frac{2}{x^2-4}-\frac{1}{x^2-2x}\); и) \(\frac{2x}{x+5}-\frac{5}{x+5}+\frac{2x^2}{x^2-25}\); к) \(6y-\frac{2y}{3-y}\).

а) Приведём дроби к знаменателю 60: \(\frac{x+1}{15}-\frac{x-2}{4}=\frac{4(x+1)-15(x-2)}{60}=\frac{34-11x}{60}\).

б) Общий знаменатель — \(24x^2\): \(\frac{2-x}{12x^2}-\frac{3x-2}{8x^2}=\frac{2(2-x)-3(3x-2)}{24x^2}=\frac{10-11x}{24x^2}\), где \(x\ne0\).

в) Приведём к знаменателю \(x^2\): \(\frac{1}{x^2}-\frac{x-2}{x}=\frac{1-x(x-2)}{x^2}=\frac{-x^2+2x+1}{x^2}\), где \(x\ne0\).

г) Сократим одинаковые слагаемые: \(\frac{3x-5}{x}-\frac{3y-2}{y}=3-\frac5x-3+\frac2y=\frac{2x-5y}{xy}\), где \(x\ne0\), \(y\ne0\).

д) Приведём к общему знаменателю и вынесем общий множитель: \(\frac{x-y}{xy^2}-\frac{x-y}{x^2y}=\frac{x(x-y)-y(x-y)}{x^2y^2}=\frac{(x-y)^2}{x^2y^2}\), где \(x\ne0\), \(y\ne0\).

е) Разложим \(2x-8=2(x-4)\) и приведём к общему знаменателю: \(\frac{x-1}{2(x-4)}+\frac{x}{x-4}=\frac{x-1+2x}{2(x-4)}=\frac{3x-1}{2(x-4)}\), где \(x\ne4\).

ж) Упростим знаменатели: \(\frac{3x}{3(x-1)}+\frac{2x}{5(1-x)}=\frac{x}{x-1}-\frac{2x}{5(x-1)}=\frac{3x}{5(x-1)}\), где \(x\ne1\).

з) Разложим знаменатели на множители: \(\frac{2}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x(x-2)}=\frac{2x-(x+2)}{x(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x(x+2)}\). Ограничения исходного выражения: \(x\ne-2,0,2\).

и) Сначала объединим первые две дроби, затем приведём к знаменателю \(x^2-25\): \(\frac{2x-5}{x+5}+\frac{2x^2}{(x+5)(x-5)}=\frac{(2x-5)(x-5)+2x^2}{x^2-25}=\frac{4x^2-15x+25}{x^2-25}\), где \(x\ne-5,5\).

к) Приведём к общему знаменателю: \(6y-\frac{2y}{3-y}=\frac{6y(3-y)-2y}{3-y}=\frac{2y(8-3y)}{3-y}\), где \(y\ne3\).