Тіло на пружині здійснює гармонічні коливання за законом. (Усі величини, що входять у рівняння, задано в одиницях СІ.) Визначте масу тіла, якщо жорсткість пружини становить 10 кН/м. (3 бали)

Розв'язання:

Рівняння коливань має вигляд: \( x = A \cos(\omega t + \phi) \).

У нашому випадку: \( x = \cos(\frac{\pi}{6} t) \).

Звідси амплітуда \( A = 1 \) м, а циклічна частота \( \omega = \frac{\pi}{6} \) рад/с.

Формула циклічної частоти коливань для маси на пружині: \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \), де \( k \) — жорсткість пружини, \( m \) — маса тіла.

Нам відомо, що \( k = 10 \) кН/м = \( 10 \cdot 10^3 \) Н/м.

З формули \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \) виведемо масу \( m \):

\( \omega^2 = \frac{k}{m} \)

\( m = \frac{k}{\omega^2} \)

Підставимо значення:

\( m = \frac{10 \cdot 10^3 \text{ Н/м}}{(\frac{\pi}{6} \text{ рад/с})^2} = \frac{10000}{\frac{\pi^2}{36}} = \frac{10000 \cdot 36}{\pi^2} \approx \frac{360000}{9.87} \approx 36474 \) кг.

Відповідь: Маса тіла становить приблизно 36474 кг.