Тип 5 № 442. Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть дан прямоугольник $$ABCD$$, где $$AC$$ и $$BD$$ - диагонали, пересекающиеся в точке $$O$$. Пусть $$\angle BAC = 51^{\circ}$$. Нужно найти острый угол между диагоналями, то есть $$\angle AOB$$. 1. В прямоугольнике все углы прямые, следовательно, $$\angle ABC = 90^{\circ}$$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $$90^{\circ}$$. Значит, $$\angle BCA = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ}$$. 3. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $$AO = BO$$, значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, и $$\angle OAB = \angle OBA$$. 4. В равнобедренном треугольнике $$AOB$$ углы при основании равны. $$\angle OAB = \angle BAC = 51^{\circ}$$. $$\angle OBA = 51^{\circ}$$. 5. Сумма углов в треугольнике равна $$180^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (51^{\circ} + 51^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}$$. Таким образом, острый угол между диагоналями равен **78°**.