16 Тип 16 № 356635 i Четырехугольник ABCD вписан в окруж- ность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 8, DK = 12, ВС = 6. Найдите AD.

Рассмотрим секущие KA и KC окружности. По свойству секущих имеем:

$$KB \cdot KA = KD \cdot KC$$

Пусть BC = 6, BK = 8, DK = 12. Пусть AD = x. Тогда KA = KB + BA и KC = KD + DC.

Углы \(\angle\) CBK и \(\angle\) DAK равны, так как опираются на одну и ту же дугу CD. Аналогично, углы \(\angle\) BCK и \(\angle\) DAK равны, так как опираются на одну и ту же дугу AB.

Рассмотрим треугольники BCK и ADK. Углы при вершине K у них общие. Значит, треугольники BCK и ADK подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK}$$ $$\frac{6}{x} = \frac{8}{12}$$ $$8x = 6 \cdot 12$$ $$8x = 72$$ $$x = \frac{72}{8}$$ $$x = 9$$

Таким образом, AD = 9.

Ответ: 9