18 Тип 18 № 3756 i Из точки М к окружности с центром О проведены каса- тельные МА и МВ. Найдите расстояние между точками каса- ния А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 4.

Ответ: \(2\sqrt{3}\)

Решение:

• Касательные МА и МВ к окружности образуют с радиусами ОА и ОВ прямые углы.
• Рассмотрим треугольник АОВ. Угол ∠AOB = 120°.
• МО = 4. Так как касательные МА и МВ образуют равные углы с прямой МО, то ∠АМО = ∠ВМО.
• Рассмотрим треугольник AOM. \(AO = MO \cdot sin(∠AMO)\)
• ∠AOM = 60° (половина угла ∠AOB).
• Тогда \(AO = 4 \cdot sin(60°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\).
• В треугольнике АОВ, AO = BO (радиусы окружности), угол ∠AOB = 120°.
• Применим теорему косинусов для нахождения AB: \[AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot cos(∠AOB)\]
• Подставляем значения: \[AB^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot cos(120°)\]
• \(cos(120°) = -0.5\), поэтому: \[AB^2 = 12 + 12 - 2 \cdot 12 \cdot (-0.5) = 24 + 12 = 36\]
• Тогда \(AB = \sqrt{36} = 6\).

Ответ: \(2\sqrt{3}\)