10. Тип 11 № 11335 i Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра додекаэдра?

Додекаэдр имеет 30 рёбер и 20 вершин. Каждая вершина додекаэдра соединена с 3 другими вершинами. Чтобы найти наименьшее число ребер, которые нужно пройти дважды, чтобы обойти все ребра додекаэдра, нужно найти количество ребер, которые необходимо продублировать, чтобы сделать граф эйлеровым. Эйлеров граф - это граф, в котором каждая вершина имеет четную степень (четное количество ребер, соединенных с ней). В додекаэдре каждая вершина имеет степень 3, что является нечетным числом. Чтобы сделать каждую вершину четной, нужно добавить ребро к каждой вершине, соединенной с другой вершиной. Количество вершин с нечетной степенью - 20. По теореме Эйлера, если в графе более двух вершин с нечетной степенью, то нельзя пройти по всем ребрам графа, не проходя по некоторым ребрам более одного раза. Минимальное количество ребер, которые нужно пройти дважды, равно половине количества вершин с нечетной степенью. Таким образом, наименьшее число ребер, которые нужно пройти дважды, чтобы обойти все ребра додекаэдра равно \(\frac{20}{2} = 10\). Ответ: 10