14 Тип 14 № 412206 i На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нари- сована «змейка», представ- ляющая собой ломаную, со- стоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изобра- жен случай, когда послед- нее звено имеет длину 10. решуогэ.рф Найдите длину ломаной, построенной анало- гичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Пусть последнее звено имеет длину n.

Заметим, что каждое следующее звено уменьшается на 2.

Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев.

Длина ломаной, последнее звено которой имеет длину 10, равна:

10 + 10 + 8 + 8 + 6 + 6 + 4 + 4 + 2 + 2 = 60

Можно заметить, что длина ломаной равна n(n+1)/2, где n - длина последнего звена.

Тогда длина ломаной, у которой последнее звено 10 равна 10(10+1)/2=10*11/2=55.

Выведем формулу для суммы звеньев:

Пусть последнее звено имеет длину 2n. Тогда длина ломаной будет равна

$$S = 2n + 2n + (2n - 2) + (2n - 2) + ... + 2 + 2 = 2(2n + (2n - 2) + ... + 2)$$ $$S = 4(n + (n - 1) + ... + 1)$$ $$S = 4\frac{n(n+1)}{2} = 2n(n+1)$$

В нашем случае, последнее звено равно 10, тогда 2n = 10, n = 5.

S = 2 * 5 * (5 + 1) = 10 * 6 = 60

Если последнее звено имеет длину 120, то 2n = 120, n = 60.

Тогда длина ломаной равна:

S = 2 * 60 * (60 + 1) = 120 * 61 = 7320

Ответ: 7320