10 Тип 10 № 1524 i Найдите tg2a, если cos a = 4√3 7 и 元2 <a< π. В ответе запишите найденное значение, умноженное на 47 √3 Ответ:

Шаг 1: Найдем sin α, зная cos α и учитывая, что \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). В этом диапазоне синус положителен. \[sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\] \[sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha\] \[sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 3}{49} = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}\] \[sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}\]

Шаг 2: Используем формулу для тангенса двойного угла: \[tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}\] Найдем tg α: \[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{1}{7}}{-\frac{4\sqrt{3}}{7}} = -\frac{1}{4\sqrt{3}}\]

Шаг 3: Подставим найденное значение tg α в формулу для tg 2α: \[tg 2\alpha = \frac{2 \cdot \left(-\frac{1}{4\sqrt{3}}\right)}{1 - \left(-\frac{1}{4\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{16 \cdot 3}} = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{48}} = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{3}}}{\frac{47}{48}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{48}{47} = -\frac{24}{47\sqrt{3}}\]

Шаг 4: Умножим полученное значение на \(\frac{47}{\sqrt{3}}\) : \[-\frac{24}{47\sqrt{3}} \cdot \frac{47}{\sqrt{3}} = -\frac{24 \cdot 47}{47 \cdot 3} = -\frac{24}{3} = -8\]