9 Тип 9 № 27971 i Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $$f_0 = 440$$ Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $$f$$ больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $$f(v) = \frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$$ (Гц). где $$c$$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $$c = 315$$ м/с. Ответ выразите в м/с.

Для начала определим, что частота гудка при приближении тепловоза будет больше, то есть: $$f = f(v)$$ Разница частот должна быть не менее 10 Гц: $$f - f_0 \geq 10$$ Подставим выражение для $$f(v)$$: $$\frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} - f_0 \geq 10$$ $$f_0 \left(\frac{1}{1 - \frac{v}{c}} - 1\right) \geq 10$$ Подставим $$f_0 = 440$$ Гц: $$440 \left(\frac{1}{1 - \frac{v}{315}} - 1\right) \geq 10$$ Разделим обе части на 440: $$\frac{1}{1 - \frac{v}{315}} - 1 \geq \frac{10}{440} = \frac{1}{44}$$ $$\frac{1}{1 - \frac{v}{315}} \geq 1 + \frac{1}{44} = \frac{45}{44}$$ Перевернем обе части неравенства (знак неравенства изменится): $$1 - \frac{v}{315} \leq \frac{44}{45}$$ $$-\frac{v}{315} \leq \frac{44}{45} - 1 = -\frac{1}{45}$$ $$\frac{v}{315} \geq \frac{1}{45}$$ $$v \geq \frac{315}{45} = 7$$ Таким образом, минимальная скорость приближения тепловоза составляет 7 м/с. Ответ: 7