Тип 15 № 339406 i Площадь прямоугольного треугольника равна 578√3 3 . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежа- щего к этому углу.

Ответ: 36

Разбираемся:

1. Шаг 1: Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, где a - катет, прилежащий к углу 30°, а b - катет, противолежащий этому углу.

2. Шаг 2: Запишем формулу площади прямоугольного треугольника через катеты:

   \[S = \frac{1}{2}ab\]

3. Шаг 3: Выразим катет b через катет a и угол 30°:

   \[\tan(30^\circ) = \frac{b}{a}\] \[b = a \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]

4. Шаг 4: Подставим выражение для b в формулу площади:

   \[S = \frac{1}{2}a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{6}\]

5. Шаг 5: Подставим заданное значение площади \[S = \frac{578\sqrt{3}}{3}\]:

   \[\frac{578\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{6}\]

6. Шаг 6: Решим уравнение относительно a:

   \[a^2 = \frac{578 \sqrt{3} \cdot 6}{3 \sqrt{3}} = 578 \cdot 2 = 1156\] \[a = \sqrt{1156} = 34\]

Ответ: 34