5. Тип 5 № 321 i Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 30°. Тогда угол B = 60°. Площадь треугольника ABC равна 32√3.

Обозначим катет BC = a, тогда катет AC = a√3 (так как tg 30° = BC/AC = 1/√3).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = 1/2 * a * a√3 = (a²√3)/2.

По условию (a²√3)/2 = 32√3. Тогда a² = 64, следовательно, a = 8.

Значит, BC = 8, AC = 8√3.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB: AB² = BC² + AC² = 8² + (8√3)² = 64 + 192 = 256.

Следовательно, AB = √256 = 16.

Ответ: 16