4. Тип 4 № 36 i Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма ее первых пяти членов равна 31. Найдите первый член прогрессии.

Пусть дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: b₁, b₂, b₃, ..., bₙ, ...

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $$S = \frac{b_1}{1-q}$$, где q - знаменатель прогрессии, |q| < 1.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$.

По условию S = 32 и S₅ = 31. Тогда

$$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 32 \\ \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = 31 \end{cases}$$.

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}}{\frac{b_1}{1-q}} = \frac{31}{32}$$

$$\frac{b_1(1-q^5)}{1-q} \cdot \frac{1-q}{b_1} = \frac{31}{32}$$

$$1 - q^5 = \frac{31}{32}$$

$$q^5 = 1 - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$$

$$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$$

Подставим значение q в первое уравнение:

$$\frac{b_1}{1-\frac{1}{2}} = 32$$

$$\frac{b_1}{\frac{1}{2}} = 32$$

$$b_1 = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$$

Ответ: 16