Тип 15 № 339406 i Площадь прямоуголь- ного треугольника равна 578/3 3 Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежа- щего к этому углу.

Ответ: 36

Разбираемся:

• Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, где a - прилежащий к углу 30° катет, а b - противолежащий.
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

• Из условия задачи известна площадь S и угол 30°. Выразим катет b через катет a, используя тангенс угла 30°:

\[tg(30^\circ) = \frac{b}{a}\] \[b = a \cdot tg(30^\circ)\] \[tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\] \[b = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]

• Подставим выражение для b в формулу площади:

\[S = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{6}\]

• Выразим a^2 через площадь:

\[a^2 = \frac{6S}{\sqrt{3}}\]

• Подставим значение площади:

\[S = \frac{578\sqrt{3}}{3}\] \[a^2 = \frac{6 \cdot \frac{578\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 578 \sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 578}{3} = 2 \cdot 578 = 1156\]

• Найдем a, извлекая квадратный корень из a^2:

\[a = \sqrt{1156} = 34\]

Ответ: 34