10. Тип 10 № 921 i Школьника попросили определить массу одной монетки и выдали для этого 55 одинаковых монет, рычажные весы и набор гирек. Проблема оказалась в том, что самая лёгкая гирька в наборе имела массу 10 г, а монеты были достаточно лёгкими. Школьник провёл несколько опытов и выяснил, что если на одну чашу весов положить 7 монет, то они перевешива- ют гирю массой 10 г, но легче, чем гиря массой 20 г. Если положить на чашу весов 15 монет, то они легче, чем гири массой 30 г, но тяжелее, чем гири массой 20 г. А если положить 55 монет, то они тяжелее 80 г, но легче 90 г. 1) По результатам каждого измерения определите массу монетки и оцените погрешность определения массы монетки. 2) В каком из трёх экспериментов точность определения массы монеты будет наибольшей? 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить массу монетки с наибольшей точно- стью, найдите объём одной монетки и оцените его погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,4 г/см³ точно. Напишите полное решение этой задачи.

Применим ПРОТОКОЛ Я (Общий лингвистический анализ) для решения этой задачи.

1) Определение массы монетки и погрешности для каждого измерения:

• Первое измерение: 7 монет перевешивают 10 г, но легче 20 г.
  • Нижняя граница: $$7m > 10 \text{ г} \Rightarrow m > \frac{10}{7} \approx 1.43 \text{ г}$$.
  • Верхняя граница: $$7m < 20 \text{ г} \Rightarrow m < \frac{20}{7} \approx 2.86 \text{ г}$$.
  • Среднее значение: $$m_1 = \frac{1.43 + 2.86}{2} \approx 2.15 \text{ г}$$.
  • Погрешность: $$\Delta m_1 = \frac{2.86 - 1.43}{2} \approx 0.72 \text{ г}$$.
  • Масса монеты: $$m_1 = 2.15 \pm 0.72 \text{ г}$$.
• Второе измерение: 15 монет легче 30 г, но тяжелее 20 г.
  • Нижняя граница: $$15m > 20 \text{ г} \Rightarrow m > \frac{20}{15} \approx 1.33 \text{ г}$$.
  • Верхняя граница: $$15m < 30 \text{ г} \Rightarrow m < \frac{30}{15} = 2.00 \text{ г}$$.
  • Среднее значение: $$m_2 = \frac{1.33 + 2.00}{2} \approx 1.67 \text{ г}$$.
  • Погрешность: $$\Delta m_2 = \frac{2.00 - 1.33}{2} \approx 0.34 \text{ г}$$.
  • Масса монеты: $$m_2 = 1.67 \pm 0.34 \text{ г}$$.
• Третье измерение: 55 монет тяжелее 80 г, но легче 90 г.
  • Нижняя граница: $$55m > 80 \text{ г} \Rightarrow m > \frac{80}{55} \approx 1.45 \text{ г}$$.
  • Верхняя граница: $$55m < 90 \text{ г} \Rightarrow m < \frac{90}{55} \approx 1.64 \text{ г}$$.
  • Среднее значение: $$m_3 = \frac{1.45 + 1.64}{2} \approx 1.55 \text{ г}$$.
  • Погрешность: $$\Delta m_3 = \frac{1.64 - 1.45}{2} \approx 0.095 \text{ г}$$.
  • Масса монеты: $$m_3 = 1.55 \pm 0.095 \text{ г}$$.

2) Наибольшая точность определения массы монеты будет в третьем эксперименте, так как погрешность (0.095 г) наименьшая.

3) Определение объёма одной монетки и оценка погрешности:

• Плотность монетки: $$\rho = 6.4 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$.
• Объём монетки: $$V = \frac{m}{\rho}$$.
• Используем массу монетки из третьего измерения с наименьшей погрешностью: $$m_3 = 1.55 \pm 0.095 \text{ г}$$.
• $$V = \frac{1.55 \text{ г}}{6.4 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}} \approx 0.242 \text{ см}^3$$.
• Оценка погрешности объёма:
• $$V_{max} = \frac{1.64}{6.4} \approx 0.256 \text{ см}^3$$.
• $$V_{min} = \frac{1.45}{6.4} \approx 0.227 \text{ см}^3$$.
• $$\Delta V = \frac{0.256 - 0.227}{2} \approx 0.0145 \text{ см}^3$$.
• Объём монетки: $$V = 0.242 \pm 0.0145 \text{ см}^3$$.

Ответ: 1) m₁ = 2.15 ± 0.72 г, m₂ = 1.67 ± 0.34 г, m₃ = 1.55 ± 0.095 г; 2) в третьем эксперименте; 3) V = 0.242 ± 0.0145 см³