17. Тип 17 № 7264 i Упростите числовое выражение √ 43 - 30√2+√43+30√2.

Упростим числовое выражение $$ \sqrt{43 - 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 + 30\sqrt{2}} $$.

Представим 43 как $$ 25 + 18 $$, а $$ 30\sqrt{2} $$ как $$ 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{2} $$.

Тогда выражение примет вид:

$$\sqrt{25 - 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{2} + 18} + \sqrt{25 + 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{2} + 18} = \sqrt{5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2} + \sqrt{5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2}$$.

$$\sqrt{(5 - 3\sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 + 3\sqrt{2})^2} = |5 - 3\sqrt{2}| + |5 + 3\sqrt{2}|$$.

Так как $$ 3\sqrt{2} = \sqrt{18} > 5 $$, то $$ |5 - 3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2} - 5 $$, а $$ |5 + 3\sqrt{2}| = 5 + 3\sqrt{2} $$.

Следовательно,

$$ 3\sqrt{2} - 5 + 5 + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} $$.

Ответ: $$ 6\sqrt{2} $$