10. Тип 15 № 339365 i В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 12, tgA= AB.

1) Рассмотрим треугольник ABC, угол C = 90°, AC = 12, $$tgA = \frac{2\sqrt{10}}{3}$$.

2) Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть

$$ tgA = \frac{BC}{AC} $$

3) Найдем BC:

$$ BC = AC \cdot tgA = 12 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10} $$

4) Найдем AB по теореме Пифагора:

$$ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 12^2 + (8\sqrt{10})^2 = 144 + 64 \cdot 10 = 144 + 640 = 784\Rightarrow AB = \sqrt{784} = 28 $$

Ответ: 28