16. Тип 16 № 311510 i В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках А и В. На одной из дуг этой окружности выбрали точку С так, как показано на рисунке. Найдите величину угла АСВ.

Пусть O - центр окружности. Так как окружность вписана в угол 70°, то ∠D = 70°. OA и OB - радиусы, проведенные в точки касания, значит, OA ⊥ AD и OB ⊥ BD.

В четырехугольнике AOBD углы OAD и OBD прямые, следовательно, ∠OAD = ∠OBD = 90°.

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, значит,

$$∠AOB = 360° - ∠OAD - ∠OBD - ∠D = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°$$

Угол ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол AOB также опирается на дугу AB. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$$∠ACB = \frac{1}{2} ∠AOB = \frac{1}{2} \cdot 110° = 55°$$

Ответ: 55