7. Тип 17 № 7256 i Вычислите \[\frac{1}{7+4\sqrt{3}} + \frac{1}{7-4\sqrt{3}}\]

Пошаговое решение:

1. Приводим дроби к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное выражение: \[\frac{1}{7+4\sqrt{3}} + \frac{1}{7-4\sqrt{3}} = \frac{7-4\sqrt{3}}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} + \frac{7+4\sqrt{3}}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}\]
2. Раскрываем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов: \[(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1\]
3. Тогда выражение упрощается до: \[\frac{7-4\sqrt{3}}{1} + \frac{7+4\sqrt{3}}{1} = 7 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3}\]
4. Упрощаем выражение: \[7 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3} = 14\]

Ответ: 14