Тип 10 № 7450. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$. Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции как $$a = 18$$ и $$b = 12$$. Пусть боковая сторона $$c = 6$$, и тангенс угла между этой стороной и основанием $$a$$ равен $$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$.

Проведем высоту $$h$$ из вершины верхнего основания к нижнему. Тогда $$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$$, где $$x$$ - проекция боковой стороны на нижнее основание.

Значит, $$x = c \cdot \cos(\alpha)$$. Также, $$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$, следовательно, $$\cos(\alpha) = \frac{4}{\sqrt{18}}$$. Тогда $$h = c \cdot \sin(\alpha)$$.

Найдем $$\sin(\alpha)$$ из основного тригонометрического тождества: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$.

Так как $$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$, то $$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$.

$$\sin(\alpha) = \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha)$$.
$$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}}$$, следовательно $$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{16}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{18}{16}}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$.

$$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$.

Тогда высота трапеции $$h = c \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{18+12}{2} \cdot 2 = \frac{30}{2} \cdot 2 = 30$$.

Ответ: 30