Тип 17 № 900. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Пусть в первом кармане было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей, всего 6 монет. Петя переложил 3 монеты в другой карман. Нам нужно найти вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах. Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, нужно, чтобы из двух монет по 5 рублей была переложена только одна. Всего можно выбрать 3 монеты из 6 $$C_6^3$$ способами. $$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$$ Теперь посчитаем количество способов выбрать 3 монеты так, чтобы среди них была ровно одна монета по 5 рублей. Если мы выбрали одну монету по 5 рублей, то остальные две монеты должны быть по 10 рублей. Выбрать одну монету по 5 рублей из двух можно $$C_2^1$$ способами, а выбрать две монеты по 10 рублей из четырех можно $$C_4^2$$ способами. $$C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1!1!} = 2$$ $$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$ Таким образом, количество способов выбрать 3 монеты так, чтобы среди них была ровно одна монета по 5 рублей, равно $$C_2^1 \cdot C_4^2 = 2 \cdot 6 = 12$$. Вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: $$P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6$$ Ответ: 0.6