Тип 16 № 1219. В правильной шестиугольной призме, все рёбра которой равны, найдите угол между прямыми BC и DE1.

Рассмотрим правильную шестиугольную призму $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$, где все рёбра равны. Нам нужно найти угол между прямыми $$BC$$ и $$DE_1$$. 1. Заметим, что прямая $$BC$$ параллельна прямой $$E_1D_1$$, так как это стороны правильного шестиугольника. 2. Следовательно, угол между $$BC$$ и $$DE_1$$ равен углу между $$CD$$ и $$DE_1$$. 3. Рассмотрим четырёхугольник $$CDE_1D_1$$. Он является параллелограммом, так как $$CD \parallel D_1E_1$$ и $$DD_1 \parallel CE_1$$ (по свойству шестиугольной призмы, где все рёбра равны). 4. Угол $$CDE_1$$ является углом между прямыми $$CD$$ и $$DE_1$$. Так как призма правильная, все углы в основании равны $$120^{\circ}$$. То есть $$\angle CDE = 120^{\circ}$$. 5. Рассмотрим треугольник $$DD_1E_1$$. Он является прямоугольным, так как $$DD_1$$ перпендикулярно плоскости основания. Так как $$DD_1 = DE = a$$, а $$D_1E_1 = a$$, треугольник $$DD_1E_1$$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Тогда угол $$\angle DE_1D_1 = 45^{\circ}$$. 6. В параллелограмме $$CDE_1D_1$$ угол $$\angle CDE_1$$ является смежным с углом $$\angle D_1DE_1$$. Угол $$\angle D_1DE = 90^{\circ}$$ (так как призма прямая), тогда $$\angle D_1DE_1 = 90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ}$$. Так как $$\angle CDE_1$$ является смежным с этим углом, то $$\angle CDE_1 = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$$. 7. Угол между прямыми $$BC$$ и $$DE_1$$ равен углу между $$CD$$ и $$DE_1$$, который равен $$\angle CDE_1 = 135^{\circ}$$. Но мы ищем острый угол между прямыми, поэтому угол будет равен $$180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$$. Ответ: 90°