18. Тип 16 № 11038. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4:7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Пусть данный прямоугольный треугольник – \(\triangle ABC\), где \(\angle B = 90^{\circ}\). Пусть серединный перпендикуляр к гипотенузе \(AC\) пересекает катет \(BC\) в точке \(D\). Соединим точку \(D\) с вершиной \(A\). Отрезок \(AD\) делит угол \(\angle BAC\) в отношении \(4:7\). Пусть \(\angle BAD = 4x\) и \(\angle DAC = 7x\). Так как \(DE\) – серединный перпендикуляр к \(AC\), то \(DA = DC\), а значит, \(\triangle ADC\) – равнобедренный, и \(\angle DAC = \angle DCA = 7x\). В \(\triangle ABC\): \(\angle A + \angle C = 90^{\circ}\), следовательно, \(4x + 7x + 7x = 90^{\circ}\) \(18x = 90^{\circ}\) \(x = 5^{\circ}\) Тогда \(\angle BAC = 4x + 7x = 11x = 11 \cdot 5^{\circ} = 55^{\circ}\). \(\angle ACB = 7x = 7 \cdot 5^{\circ} = 35^{\circ}\). **Ответ: 35**