19. Тип 17 № 11047. Задумали трехзначное число, все цифры которого различны и первая цифра которого нечетная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 99. Найдите произведение наименьшего и наибольшего чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Пусть трехзначное число имеет вид \(\overline{abc}\), где \(a\), \(b\), \(c\) – цифры, причем \(a\) нечетная. Тогда число, записанное в обратном порядке, имеет вид \(\overline{cba}\). По условию, \(\overline{abc} - \overline{cba} = 99\). Это означает, что \((100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99\). \(99a - 99c = 99\) \(a - c = 1\) Так как \(a\) – нечетная цифра, то \(a \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\). Тогда \(c = a - 1\). Так как все цифры различны, то \(a
eq b\) и \(c
eq b\). Наименьшее число: \(a = 1, c = 0\). Чтобы число было наименьшим, нужно выбрать наименьшую возможную цифру для \(b\), отличную от 0 и 1. Это цифра 2. Значит, наименьшее число – 120. Наибольшее число: \(a = 9, c = 8\). Чтобы число было наибольшим, нужно выбрать наибольшую возможную цифру для \(b\), отличную от 8 и 9. Это цифра 7. Значит, наибольшее число – 978. Произведение наименьшего и наибольшего чисел: \(120 \cdot 978 = 117360\). **Ответ: 117360**