Тип 17 № 694 / Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что получившееся четы- рехзначное число делится на 11. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Пусть задуманное двузначное число равно ab, где a и b - цифры этого числа. Так как число делится на 5, то b = 0 или b = 5.

После приписывания этого же числа справа получается четырехзначное число вида abab. Это число можно представить как:

$$ 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b = 101(10a + b) $$

Так как получившееся четырехзначное число делится на 11, то число 101(10a + b) делится на 11. Поскольку 101 не делится на 11, то (10a + b) должно делиться на 11. Это означает, что задуманное число ab (равное 10a + b) делится на 11.

Так как ab делится на 5, то b = 0 или b = 5.

Если b = 0, то число имеет вид a0. Это число должно делиться на 11. Единственное двузначное число вида a0, делящееся на 11, это 00. Этот вариант не подходит, так как число двузначное.

Если b = 5, то число имеет вид a5. Это число должно делиться на 11. Проверим числа:

• 15 не делится на 11
• 25 не делится на 11
• 35 не делится на 11
• 45 не делится на 11
• 55 делится на 11
• 65 не делится на 11
• 75 не делится на 11
• 85 не делится на 11
• 95 не делится на 11

Следовательно, задуманное число - 55. Проверим: приписываем к 55 число 55, получаем 5555. Число 5555 / 11 = 505. Таким образом, 5555 делится на 11.

Ответ: 55